10.5.16

Matrices y el subespacio que se forma con sus columnas

El espacio columna (column space) de una matriz A ($\mathcal{C}(A)$) es el conjunto de combinaciones lineales que se pueden formar usando las columnas de A. En otras palabras, si A1, A2, …, An son las columnas de una matriz A de mxn, entonces $\mathcal{C}(A)=\langle \{A_1, A_2,\dots, A_n\} \rangle$. Donde $\langle \rangle$ es todas las combinaciones lineales del conjunto (también notado como span(), gen()). Debido a que se trata del sistema generador de las columnas de A (span(A)) entonces se puede decir que existe un vector b de tamaño m que forma parte de $\mathcal{C}(A)$ si y solo si el sistema lineal A|b (LS(A,b)) es consistente. En otras palabras, existe algún vector x que hace que la matriz A|b sea consistente. Entonces podemos escribir Ax=b. El espacio columna se define formalmente como
$$\mathcal{C}(A)=\{Ax\mid x\in\mathbb{C}^{n}\}\subseteq\mathbb{C}^{m}$$
Si en lugar de tomar las columnas de una matriz A, se toman las filas, entonces se tiene el espacio fila de la matriz A ($\mathcal{R}(A)$) que tiene propiedades similares al espacio columna.


Más: Column and Row Spaces. Row Space. Column Space. Subespacios fundamentales de una matriz. Producto de una matriz singular y una no singular. Sobre matrices cuadradas no singulares.