16.5.16

Forma escalonada extendida de una matriz

Robert Beezer habla sobre la función Extended echelon form (Forma escalonada extendida, eef()) en su libro A first course in Linear Algebra y en el artículo Extended Echelon Form and Four Subspaces. Se toma una matriz deseada, se aumenta con una matriz identidad de la misma cantidad de filas y se reduce de manera escalonada (rref()). Sí, el procedimiento es el mismo aplicado para obtener la inversa de una matriz, pero eef() funciona con matrices no cuadradas y provee el kernel (null space), espacio fila (row space), espacio columna (column space) y cokernel (left null space).

Si A es una matriz de mxn, entonces se extiende con una matriz identidad de mxm. Tal matriz se reduce (rref()) a una matriz N. N está compuesta por dos matrices: B y J. B es la matriz formada por las primeras n columnas de la matriz original y J es la matriz de m columnas restantes. B tiene r filas que no son cero. B y J están compuestas por dos matrices más cada una. B contiene a C y una matriz de ceros, J contiene las matrices K y L. C es la matriz de rxn formada por todas las filas que no son cero en B. K es la matriz rxm compuesta de las primeras r filas de J. L es la matriz (m-r)xm compuesta por las filas restantes de J.
$$\begin{equation*}
rref([A\vert I_m]) \to
N=[B\vert J]
=
\left[\begin{array}{c|c}C&K\\\hline0&L\end{array}\right]
\end{equation*}$$
De la matriz compuesta N se puede obtener una gran cantidad de información:
-J es no singular.
-B=JA. Si A es no singular entonces JA=B=In
-Si $x \in \mathbb{C}^n$ y $y \in \mathbb{C}^m$, entonces Ax=y si y solo si Bx=Jy.
-C se encuentra en la forma escalonada reducida, no tiene filas cero y tiene r columnas pivote.
-L se encuentra en la forma escalonada reducida, no tiene filas cero y tiene m-r columnas pivote.
-El kernel (null space) de A es el kernel de C.
-El espacio fila de A es el espacio fila de C.
-El espacio columna de A es el kernel de L.
-El cokernel de A es el espacio fila de L.

Se define la matriz A de 6x5 como
$$A=\left[ \begin{array}{rrrrr|rrrrr}
0 & 0 & -1 & 1 & -1/2 \\
0 & 1 & 0 & 1/2 & 1 \\
-1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
2 & 0 & -2 & 0 & -1 \\
1 & 0 & -2 & -1 & -1 \\
0 & 2 & -2 & 1/2 & 1
\end{array} \right]$$
Y se aumenta con I6
$$[A \vert I_6]=\left[ \begin{array}{rrrrr|rrrrr}
0 & 0 & -1 & 1 & -1/2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1/2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
2 & 0 & -2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & -2 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 2 & -2 & 1/2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right]$$
Se reduce a la matriz N y se subdivide
$$N=\left[ \begin{array}{rrrrr|rrrrr}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4/3 & 1/3 & -1 & 2/3 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -5/3 & -1/3 & -1 & 4/3 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & -4/3 & -1/6 & -1 & 2/3 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4/3 & 2/3 & 0 & -2/3 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -8/3 & -5/6 & -1 & 4/3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & -1 \\
\end{array} \right]$$

Más: Four Subsets. eef() en Sage. Row and column spaces. Sobre matrices cuadradas no singulares.