29.3.16

Sobre matrices cuadradas no singulares

Si A es una matriz de nxn, entonces las siguientes declaraciones son todas equivalentes:

-A es no singular.
-A se puede reducir a la matriz identidad.
-El kernel (núcleo, null space) de A contiene únicamente {0}.
-LS(A, b) tiene una única solución para cada b.
-Las columnas de A son un conjunto linealmente independiente.
-A es invertible.
-$\mathcal{C}(A)=\mathcal{R}(A^T)=\mathbb{C}^{n}$
-Las columnas de A son una base para $\mathbb{C}^{n}$
-$r(A)=n$
-$n(A)=0$
-El determinante de A es diferente de cero.
-0 no es un eigenvalor de A.
-La transformación lineal $T:\mathbb{C}^{n} \to \mathbb{C}^{n}$ definida por T(x)=Ax es invertible.

Más: Linear Independence. Matrix Inverses and Nonsingular Matrices. Column and Row Spaces. Linear Algebra: Null spaces.